蒙提霍爾問題

蒙提霍爾問題（Monty Hall problem ）來自於一個贈獎遊戲，主持人蒙提霍爾有三個門讓你選，其中一個門後面是汽車，另兩扇門是摃龜門，你選中那扇汽車門，門後汽車就是你的。你選定之後，主持人會開啟另外兩扇門當中的一扇摃龜門，剩下你選的那一個跟另一個可能是汽車也可能是摃龜的門，這時候，你可以決定是否要更換選擇。主持人可能會誘導你選擇摃龜那一扇，也可能不會。問題是，換門或不換哪一個比較好？

我是在實作數學輕鬆聚的臉書社團上讀到這個問題的，這問題也稱為「三門問題」。這個問題有趣的地方是，它違反直覺。直覺上，一開始三個門後是汽車的機率都是1/3，主持人開啟一個門之後，剩下兩扇門後的機率變成是1/2。換不換門應該不影響中獎機率，但是，實際上，你沒選中的那扇門後是汽車的機率竟然是2/3，也就是說，換門會更可能中獎。這表示你一開始不論是猜哪一扇門，都是比較爛的選擇，怎麼會這樣？

科學Online高瞻自然科學教學平台上這篇「蒙提霍爾問題（一）決勝21點」文章內有詳細的說明，用機率說明為什麼換門會更好，以數學來講，這是條件機率的緣故。

模擬

可是，我覺得這件事情還沒有結束，因為我認為數學是用來輔助「理解」的工具，它不算「理解」。如果不知道錯在哪裡，只是把答案死背下來而已，不是真的理解。這種死背的假知識在下回應用的時候可能反而做出錯誤的判斷。我想要繼續追究的問題是，到底直覺錯在哪裡？一開始，我覺得自己是缺乏「條件機率」的直覺，反覆觀看整個證明過程，嘗試建立「條件機率」的直覺。然而，總是覺得對於「條件機率」的直覺依然不能成功的建立起來。後來，我決定寫一段Python程式，嘗試模擬遊戲的整個過程。

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#! -*- coding:utf-8 -*-
# test.py
#
# Simulation of "Monty Hall problem"
# See http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=47158 for details.
#
# By Iap, Singuan (Feb 12, 2017)
#
# Copyright © 2017, BSD License (我同意你想怎麼用就怎麼用，不必再問我)
#
import random
class Question(object):
    options = ['A','B','C']
    def __init__(self,idx):
        self.idx = idx
        self.answer = self.options[random.randint(0,len(self.options)-1)]
        self.choice = ''
        self.originChoice = ''
        self.openedOption = ''
        self.win = None
    def choose(self,c):
        self.choice = c
        self.originChoice = c
    def openDoor(self):
        options = self.options[:]
        options.remove(self.answer)
        if self.answer != self.choice:
            options.remove(self.choice)
        self.openedOption = options[random.randint(0,len(options)-1)]
    def switchChoice(self):
        options = self.options[:]
        options.remove(self.choice)
        options.remove(self.openedOption)
        self.choice = options[random.randint(0,len(options)-1)]
    def finish(self):
        self.win = self.choice == self.answer

def generateQueustion(n=10):
    questions = []
    for i in range(n):
        questions.append(Question(i))
    return questions

def main():
    options = Question.options
    n = 10
    questions = generateQueustion(n)
    winCount = 0
    switchCount = 0
    optionsLength = len(options)
    for question in questions:
        question.choose(options[random.randint(0,len(options)-1)])
        question.openDoor()
        #if random.randint(0,1)==0: ## 換不換門的機率一半一半
        if random.randint(0,1)<optionsLength: ## 一定換門
        #if random.randint(0,1)>optionsLength: ## 一定不換門
            question.switchChoice()
            switchCount += 1
        question.finish()
        if question.win: winCount += 1

    lines = ['\t'.join(('次數','中獎門','初次選擇','最終選擇','中獎與否'))]
    for question in questions:
        line = [question.idx,question.answer, question.originChoice, question.choice, question.win]
        lines.append('\t'.join(map(lambda x: str(x),line)))
    switchPercent = int(100*float(switchCount)/len(questions))
    lines.append('總次數:%s, 中獎次數:%s, 中獎機率:%s%%, 換門(次數:%s, 比率:%s%%)' % (len(questions),winCount,int(100*float(winCount)/len(questions)), switchCount, switchPercent))
    print '\n'.join(lines)


if __name__ == '__main__':
    main()

（這段程式看不懂沒關係，放在這裡只是讓有興趣的人可以複製去玩一玩而已）

執行結果如下圖：

IMG1

在程式的54-56行，可以切換不同的策略。執行幾次之後，的確顯示出換門是比較好的策略。但是，這不是重點，因為在機率計算下，本來就應該這樣，如果不是的話，是程式有BUG。這也不是「用程式證明了數學推導」畢竟用的只是尋常的random函式而已，不是嚴格的模擬。

直覺錯在哪裡

寫程式模擬的過程強迫我必須深入每一個過程的細節，在這一過程中，我領悟出為什麼我的直覺會出錯。我發現出錯的關鍵在於我沒有考慮到「主持人決定開哪一扇門」這個行為所造成的影響，一直到我寫到主持人開門的這一段程式。請看程式中第25行附近的 openDoor 子函數。

def openDoor(self):
    options = self.options[:]
    options.remove(self.answer) #不能開中獎門
    if self.answer != self.choice: #不能開你已選擇的那個門
        options.remove(self.choice)#移除此門之後，只剩下一個門可以開
    self.openedOption = options[random.randint(0,len(options)-1)]

當主持人選擇要開啟哪一扇摃龜門的時候，其實他的選擇很有限，首先，不能是你選的那一個，其次，不能是中獎的那一個。他開門遵守「一定不能開中獎門」規則的行為，也受到你選擇的是哪一扇門的影響，這些限制條件，為此系統注入一個明確的資訊使得「他不開的那一個是汽車」的可能性大增。

驗證方式

我的直覺會錯誤原因在於我只是從自己的觀點作純機率的考量，沒有將主持人的行為納入考量。但是，這一推測也只是「直覺」，怎麼確定是對的呢？我檢驗的方式是：把限制主持人開門的規則拿掉，也就是說，假設主持人不知道哪一扇門後是汽車，他從遊戲者挑剩的兩扇門中隨機開啟其中的一扇門，如果開出汽車則遊戲結束，如果不是，則遊戲者可以選擇換門或不換門。修改遊戲規則之後的模擬程式碼如下：

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#! -*- coding:utf-8 -*-
#
# Simulation of "Monty Hall problem" (Door opened blindly)
#
# By Iap, Singuan (Feb 12, 2017)
#
# Copyright © 2017, BSD License (我同意你想怎麼用就怎麼用，不必再問我)
#

import random
class Question(object):
    options = ['A','B','C']
    def __init__(self,idx):
        self.idx = idx
        self.answer = self.options[random.randint(0,len(self.options)-1)]
        self.choice = ''
        self.originChoice = ''
        self.openedOption = ''
        self.win = None
    def choose(self,c):
        self.choice = c
        self.originChoice = c
    def openDoorBlindly(self):
        options = self.options[:]
        options.remove(self.choice)
        self.openedOption = options[random.randint(0,len(options)-1)]
        if self.openedOption == self.answer:
            self.win = False
            return True
    def switchChoice(self):
        options = self.options[:]
        options.remove(self.choice)
        options.remove(self.openedOption)
        self.choice = options[random.randint(0,len(options)-1)]
    def finish(self):
        self.win = self.choice == self.answer

def generateQueustion(n=10):
    questions = []
    for i in range(n):
        questions.append(Question(i))
    return questions

def main():
    options = Question.options
    n = 1000
    questions = generateQueustion(n)
    winCount = 0
    switchCount = 0
    optionsLength = len(options)
    for question in questions:
        question.choose(options[random.randint(0,len(options)-1)])
        if question.openDoorBlindly():
            # 已經被主持人抽中，遊戲結束
            question.choice = None
            continue
        #if random.randint(0,1)==0: ## 換不換門的機率一半一半
        if random.randint(0,1)<optionsLength: ## 一定換門
        #if random.randint(0,1)>optionsLength: ## 一定不換門
            question.switchChoice()
            switchCount += 1
        question.finish()
        if question.win: winCount += 1

    lines = ['\t'.join(('次數','中獎門','初次選擇','最終選擇','中獎與否'))]
    for question in questions:
        line = [question.idx,question.answer, question.originChoice, question.choice or '-', question.win]
        lines.append('\t'.join(map(lambda x: str(x),line)))
    switchPercent = int(100*float(switchCount)/len(questions))
    lines.append('總次數:%s, 中獎次數:%s, 中獎機率:%s%%, 換門(次數:%s, 比率:%s%%)' % (len(questions),winCount,int(100*float(winCount)/len(questions)), switchCount, switchPercent))
    print '\n'.join(lines)


if __name__ == '__main__':
    main()

（這段程式看不懂沒關係，放在這裡只是讓有興趣的人可以複製去玩一玩而已）

執行結果如下圖：

IMG2

其中第四欄位是 dash “-” 表示該次提早結束。我測試了三種策略（換、不換、隨機換），模擬結果都是一樣的，中獎機率都是33％，跟瞎猜一樣。

結論

在原本的遊戲規則中，主持人的行為提升了最後那扇門後面是汽車的機率，使得換門成為一個比較好的選擇。我們一開始瞎猜的選擇並沒有比較差，而是後來出現了更好的選擇，這是換門會更好的原因。直覺的錯誤是因為直覺沒有察覺到出現了更好的選擇。

或者，換一個觀點來看，在決定是否換門的當下，這兩次的選擇是在不同的情境，第一次選擇時，汽車是隨機出現在三個門當中。然而，第二次選擇時，汽車不是隨機出現在兩個門，汽車「被安置」在最後剩餘的那一個門的機會是⅔. 有意思的地方是，「隨機」竟然不是絕對的，當某一個知道秘密的人做出某種行為時，原本的隨機性竟然改變了。

「主持人知道門後的秘密，刻意避開開啟中獎那扇門的行為，反而提高了他沒開的那扇門的中獎機率」這件事情好像是違反一般的直覺，仔細想想，這在日常生活中卻是很常見的，例如國防部對於任何軍事相關的問題一概不承認不否認，因為只要給出某種確定性便會改變某些其他事情的機率，如果要隱藏某些資訊，所謂虛虛實實，實實虛虛，才是好的策略，這道理孫子兵法早有闡述，歷史上的實例可就不勝枚舉了。

我們做出選擇之後，應該注意是否出現了新的情勢，使得當初放棄的選項已經成為更好的選項，尤其是自己以外的其他關係人的行為。當系統中有知情的行動者做出某一特定的行為時（譬如創辦人出脫持股），他的行為可能改變了我們在某些選項上的勝率。

Caution

話說回來，我們必須記住「可能性永遠只是可能性」，千萬不能把「最可能」與「事實」相混淆，很多冤案就是這麼來的。